Az értékpapírszámtan alapjai

Mindenekelőtt áttekintjük azokat a fontos értékpapír-számtani alapfogalmakat és összefüggéseket, amelyek a befektetésértékelési módszerek használata során nélkülözhetetlenek.

A pénz időértéke

A befektetések értékelése szempontjából alapvető fontosságú, hogy képesek legyünk összegezni a különböző időpontokban várható bevételeket vagy kiadásokat és pontosan összehasonlítani ezeket az összegeket egymással. A két különböző időpontban várható, azonos összegű bevétel ugyanis eltérő értékkel bír: az első időpontban befolyt pénzeket bankban kamatoztathatjuk, tehát értelemszerűen többet érnek, mint a második időpontban befolyt pénzek.

Ebből következően az értékpapírszámtanban nem elegendő csupán egy adott pénzügyi művelet összegét meghatároznunk, hanem azt is pontosan meg kell adnunk, hogy mikor kerül sor a műveletre. Annak érdekében, hogy a különböző időpontban végrehajtott pénzügyi műveletek összegeit matematikailag is pontosan össze lehessen vetni, az értékpapírszámtanban minden egyes összeghez egy szorzót rendelünk, amelynek értéke két tényezőtől függ: a pénzügyi művelet időpontjától, illetve a kamattól, amelyet az eltérő időpontban befolyt összegek befektetésével nyerhetünk (általában: a piaci kamatláb). Ezt a szorzót diszkontfaktornak vagy diszkontrátának nevezzük, ha értéke egynél kisebb, és kamattényezőnek, ha egynél nagyobb.

Itt vezetjük be a pénzáramlás vagy cash flow (CF) fogalmát: ez jövőbeni pénzforgalmat, sorozatos bevételt, illetve kiadást jelent.

Vegyünk két várható 100 forintos pénzbevételt, amelyek közül az első most, a második egy évvel később realizálódik. Tegyük fel, hogy a piaci kamatláb 25%. A most befolyó 100 forintot így egy évre befektetve 25% kamatra tehetünk szert, ami ebben az esetben 100 x 25% = 25 forintnak felel meg. Így amikor a második pénzáramlás bekövetkezik, az első már 100 x (1+25%) = 125 forintot ér. Az (1+25%) tényezőt kamattényezőnek nevezzük. Ezt a 125 forintot nevezzük az első pénzáramlás jövőértékének (future value – FV). Ugyanez fordítva is igaz: a jelenben az egy év múlva várható 100 forintos bevétel még nem ér 100 forintot, hanem csak annyit, amennyit egy évre befektetve 100 forintot kapnánk. Ez az öszszeg 100/(1+25%) = 80 forint, hiszen 80 x (1+25%) = 100 forint. Ezt a 80 forintot nevezzük a második pénzáramlás jelenértékének (present value – PV). Az 1/(1+25%) tényezőt pedig diszkontfaktornak.

Amint látható, a jelenérték és a jövőérték relatív fogalmak, s az egyikből a másikat bármikor megkaphatjuk, amennyiben ismerjük az időtartamot és a piaci kamatlábat. A jelenérték és a jövőérték közötti kapcsolatot a diszkontráta, illetve annak reciproka, a kamattényező teremti meg.

A diszkontfaktor és a kamattényező (együttesen: F) jellemző értékei:

1. ha a művelet a múltban történt: F>1,
2. ha a művelet a jelenben történik: F=1,
3. ha a művelet a jövőben történik: F<1,
4. ha a művelet a végtelenben történik: F=0.

Lineáris és kamatos kamatszámítás

A fentiekben az egyszerűség kedvéért nem fordítottunk figyelmet arra, hogy hogyan kezeljük az időtényezőt egy jövőbeli pénzáramlás jelenértékének kiszámításakor. Adottnak vettük, hogy az egyéves kamatláb 25%, és értelemszerűen ezt az értéket használtuk fel a diszkontrátában is, mivel egy év múlva várható pénzáramlásról volt szó.

Azonban a valóságban ez a helyzet csak a legritkábban fordul elő. Leggyakrabban ugyanis a különféle pénzáramlások bekövetkezéséig eltelő idő nem pontosan egy év, ugyanakkor a piaci kamatlábat szinte mindig egy évre vonatkoztatva értelmezik.

Az időtényezőt általában kétféleképpen kezelhetjük a kamatszámítás során:

1. Kamatos kamatszámítást többnyire akkor alkalmazunk, amikor a pénzáramlás több év múlva esedékes. Ilyenkor a számításainkat úgy végezzük, mintha több egymást követő egyéves pénzáramlásról lenne szó, amelyeknek az értéke – a kamatok felhalmozódása miatt – folyamatosan növekszik. Így például egy két év múlva várható 121 forintos pénzáramlás jelenértékének kiszámításakor, amennyiben 10% a piaci kamatláb, a következőképpen járunk el: Először vesszük a két év múlva esedékes pénzáramlás egy év múlva számított jövőértékét: 121/(1+10%) = 110 forint. Másodszor az így kapott értéknek vesszük a jelenértékét: 110/(1+ 10%) = 100 forint. A két műveletet egybeírva a következőt kapjuk: 121/(1+10%)^2 = 100. Ebből látható, hogy kamatos kamatszámítás esetén a kamatlábhoz először hozzáadunk 1-et, majd ezt a tényezőt felemeljük az évek számának megfelelő hatványra. Ez természetesen igaz az egyéves pénzáramlás fent bemutatott esetében is, csak – mivel ekkor a kitevő 1 – a hatványozás művelete elhagyható.
2. Lineáris kamatszámítást többnyire akkor alkalmazunk, amikor a pénzáramlás éven belül esedékes. Ilyenkor az egyszerűség kedvéért úgy történik a számítás, hogy az éves kamatlábat elosztjuk 360-nal, illetve 365-tel (a gyakorlat e tekintetben nem egységes – a továbbiakban mi a 365 napos évet alkalmazzuk), majd az így kapott értéket megszorozzuk a pénzáramlás időpontjáig eltelő napok számával, s ehhez adjuk hozzá az 1-et. Amennyiben egy 115 nap múlva esedékes 100 forintos bevétel jelenértékét akarjuk meghatározni 20%-os kamatláb mellett, akkor a következőképpen járunk el. Először kiszámítjuk az egy napra jutó kamatlábat: 20%/365 = 0,055%. Ezután ezt megszorozzuk a hátralévő napok számával: 115 x 0,055% = 6,3%. Ezt a diszkontfaktorba behelyettesítve: 100/(1+6,3%) = 94,1 forint a pénzáramlás jelenértéke.
3. Folytonos kamatszámítást akkor alkalmazunk, amikor az előző két módszer gyengeségeit – akár jóval nagyobb számítási szükséglet árán is – ki akarjuk küszöbölni. Ennek a módszernek az a lényege, hogy miközben kamatos kamatszámítást feltételez, az egyes kamatfizetési időszakokat végtelenül kicsinyre veszi. Gyakorlatiasabban megfogalmazva folytonos kamatszámítás esetén minden időpillanatban történik kamatfizetés, amelyet azonnal újra befektetnek. A folytonos kamatszámítás képlete: i = n x ln (1+k/n), ahol i a folytonos kamatláb, n az éven belüli tényleges kamatfizetések száma és k az éves névleges kamatláb. A folytonos kamatláb felhasználásával a pénzáramlások jelenértékét a következőképpen számíthatjuk: PV = FV x e^(-i x t#), ahol t az évek száma (lehet törtszám is).

Abban az esetben, ha a pénzáramlás egy éven túl esedékes, ámde az évek száma nem egész, akkor a lineáris és a kamatos kamatszámítás kombinációját alkalmazzuk. Eszerint először veszszük az egész évek számát. Ezután kiszámoljuk a maradék tört év napjainak számát. Ezután a következő diszkontfaktort használjuk: (1+i)^é x (1+i/365 x n), ahol é az egész évek száma, i a kamatláb és n a napok száma.

Így például a következőképpen számíthatjuk ki egy 2001. június 15-én esedékes 100 forintos bevételnek 20%-os piaci kamatláb mellett számított jelenértékét 1999. február 19-én: először megállapítjuk, hogy az egész évek száma kettő, majd kiszámoljuk, hogy a maradék napok száma 117. Ennek felhasználásával a jelenérték: PV = 100/[(1+20%)^2 x (1+20%/365 x 117)] = 65,26 forint.

Alternatívaköltség, arbitrázs

Tegyük fel, hogy két befektetési lehetőség közül kell választanunk. 100 forintunkat vagy 3 év futamidejű zéró kupon kötvénybe fektethetjük, vagy szintén három év futamidőre elhelyezhetjük a bankban, egyszeri kamatfizetés mellett. Ha ebben az esetben a zéró kupon kötvényt választjuk, akkor lemondunk a bankbetét hozamáról, és fordítva. Ezért a másik befektetés hozamát a választott befektetés alternatívaköltségének (opportunity cost) nevezzük. A zéró kupon kötvény vásárlásának alternatívaköltsége a bankbetét hozama: amennyiben azt nem éri el, úgy a bankbetétet kell választanunk. Amenynyiben pedig meghaladja azt, a zéró kupon kötvényt.

Ebből fakadóan feltételezhetjük, hogy az azonos kockázatú és futamidejű befektetések hozama nem térhet el egymástól. Vajon a gyakorlatban melyik az a mechanizmus, amelyik ezt biztosítja?

Ezt a mechanizmust arbitrázsnak nevezik, amelynek lényege, hogy a pénz- és tőkepiaci szereplők minden olyan befektetési lehetőséget megragadnak, amelyik kockázat nélkül (vagy elenyésző kockázattal) biztosít számukra extraprofitot.

Az arbitrázs az előbb említett kötvény-bankbetét dilemma esetében a következőképpen merül fel. Tegyük fel, hogy egy okos piaci szereplő (arbitrazsőr) rájön, hogy a hároméves bankbetét 1%-kal magasabb hozamot ígér a hároméves kötvény évi 20%-os hozamánál. Ekkor az arbitrazsőr a – fejlett tőkepiacokon intézményes keretek között működő – értékpapír-kölcsönzési rendszerben kölcsönöz egy darab 100 forint névértékű kötvényt, amelyet a pénzpiacon azonnal értékesít, s a befolyt 100 forintot elhelyezi a bankbetétben. Így három év múlva 100 x (1+21%)^3 = 177,16 forinttal fog rendelkezni, amiből visszavásárolhatja az éppen akkor lejáró, 100 x (1+20%)^3 = 172,8 forint értékű kötvényt, s a fennmaradó 4,36 forintot megtarthatja nyereségként. Ez a gondolatmenet természetesen az ellenkező irányban is lejátszható, azzal a különbséggel, hogy ekkor az arbitrazsőr a banktól vesz fel hitelt, és ebből az összegből vásárol kötvényt. Itt fontos kiemelni, hogy az arbitrázselmélet minden tranzakciós költségtől eltekint, így nem számol többek között az értékpapír-kölcsönzés költségével, sem azzal, hogy a bankok nem ugyanazon a kamaton hiteleznek, amelyen betéteket fogadnak.

Befektetési döntések a jelenérték és belső megtérülési ráta alapján

A fentiekben bemutattuk, hogy hogyan számíthatjuk ki egy pénzáramlás jelenértékét. Nem foglalkoztunk azonban azzal, hogy ezt a számítást hogyan használhatjuk fel befektetési döntések meghozatalára.

Nettó jelenértéknek nevezzük egy pénzáramlás jelenértékének és a pénzáramlást eredményező befektetési eszköz vételárának különbségét: NPV = PV(CF)-P. Ez alapján minden olyan befektetési döntést el kell fogadnunk, amelyik pozitív nettó jelenértékű. Ez a szabály – az arbitrázselmélethez hasonlóan – arra épül, hogy nincsenek más, a befektetési döntéseinket befolyásoló tényezők. Így például ha egy vállalat saját tőkéje 1 milliárd forint, és a rendelkezésére álló pozitív nettó jelenértékű beruházási lehetőségek összes bekerülési értéke 100 milliárd forint, akkor a nettó jelenérték szabály a vállalatnak azt javasolja, hogy vegyen fel 99 milliárd forint hitelt, és vágjon bele a beruházásokba. Ez ugyanakkor lehetetlen, hiszen ez mind a részvényesek, mind a hitelezők számára elfogadhatatlan kockázatot jelent.

Ebből a szempontból könnyebb gyakorlati alkalmazhatósággal bír a belső megtérülési ráta módszer. E szerint minden befektetés esetében meghatározható az az ún. belső megtérülési ráta (IRR), amelylyel a pénzáramlást diszkontálva éppen a befektetés bekerülési árát kapjuk meg (tehát a nettó jelenérték nulla). A befektetési lehetőségek közül azokat lehet elfogadni, melyek belső megtérülési rátája a finanszírozás költségét meghaladja. Így például ha egy befektetés belső megtérülési rátája 25%, és a befektetést 20%-os átlagos költséggel lehet finanszírozni, akkor a befektetési lehetőséget el kell fogadni. Ez a módszer tehát már olyan járulékos tényezőket is figyelembe vesz, mint például a növekvő eladósodottsággal járó magasabb finanszírozási költség.

Kötvények hozama

A kötvények olyan hitelviszonyt megtestesítő értékpapírok, amelyek tulajdonosuknak a kötvény névértékének (a tőkének) és a kötvény élettartama során esedékes kamatoknak a megfizetését ígérik.

A kamatfizetés módja alapján az alábbi kötvénytípusok különböztethetők meg:

• a futamidő alatt rendszeres időközönként előre meghatározott fix kamatot fizető kötvények,
• a futamidő végén egy összegben kamatot fizető kötvények (zéró kupon kötvények),
• a futamidő alatt rendszeres időközönként előre meghatározott módon változó kamatot fizető kötvények,
• a futamidő alatt rendszeres időközönként egy meghatározott változóhoz (pl. infláció) kötött változó kamatot fizető kötvények,
• a tőkét nem egy összegben, hanem több részletben törlesztő kötvények.

A kötvények hozamát az alábbi változókkal jellemezhetjük:

• a névleges kamatláb (coupon rate) az éves kamatfizetés nagysága a névérték százalékában kifejezve,
• a szelvényhozam (coupon yield) az évente fizetett kamat osztva a pillanatnyi nettó piaci árfolyammal,
• a lejáratig számított hozam (yield-to-maturity) a kötvény belső megtérülési rátája a pillanatnyi bruttó piaci árfolyam és a még be nem váltott kuponok alapján számítva.

Részvények hozama

A részvények olyan tulajdonviszonyt megtestesítő értékpapírok, amelyek a tulajdonosaiknak a részvényeket kibocsátó társaság működése során a nyereségből származó osztalék kifizetését, működésének befejezése esetén pedig a tulajdonhányad alapján számított ún. likvidációs hányad megfizetését ígérik.

A gyakorlatban a nyilvános részvénytársaságok jogutód nélküli megszűnése (csődje vagy felszámolása) olyan ritka, hogy a befektetők gyakorlatilag nem számítanak likvidációs hányadra. Ezzel szemben úgy vélekednek, hogy a részvényt bármikor eladhatják a jövőbeli várható osztalékoktól függő árfolyamon. Így a gyakorlatban a részvénybe fektetők öszszes hozama az osztalékhozamból és az árfolyamnyereségből tevődik össze.

A részvények az osztalékfizetés szempontjából lehetnek:

1. Törzsrészvények, amelyek a névértékükhöz egyenesen arányló osztalék felvételére jogosítanak az éves eredmény terhére a közgyűlés döntése alapján.
2. Osztalékelsőbbségi részvények, amelyek fix osztalékra, ám csak korlátozott szavazati lehetőségre jogosítanak.
3. Szavazatelsőbbségi részvények, amelyek csökkentett – akár nulla – osztalékra jogosítanak, többlet szavazati jogok fejében.

Névleges, effektív, folytonos kamatláb Ahogyan a fentiekből kitűnt, a kamatlábat jellemzően egy évre vonatkoztatva adják meg. Ennek – az előző pontban írottak alapján – a következő módjai lehetségesek: 1. Névleges kamatlábnak nevezzük a lineárisan éves szintre vetített kamatlábat. Így például a 3 havonta 5% kamatot fizető bankbetét éves névleges kamatlába 20%. Ennél a kifejezésnél azonban feltétlenül meg kell jelölnünk, hogy milyen gyakran történik a kamatfizetés (ebben az esetben évente négyszer). 2. Effektív kamatlábnak nevezzük a kamatos kamatszámítással éves szintre vetített kamatlábat. Így például egy félévente 10%-os kamatot fizető kötvény éves effektív kamatlába 21%. 3. Folytonos kamatlábról akkor beszélünk, amikor a kamatos kamatszámítás kamatelszámolási periódusát végtelenül kicsinyre zsugorítjuk, azaz úgy vesszük, mintha minden időpillanatban történne kamatfizetés, és ezeket a kamatokat minden időpillanatban újra be is fektetnénk. Szabályos pénzáramlások Szabályosnak nevezzük az egyszeri jövőbeni kifizetéseket, a nulla és a konstans növekedésű pénzáramlásokat. Az egyszeri jövőbeni kifizetést zéró kupon kötvénynek nevezzük, mivel kamatot nem fizet (a kuponja nulla), csak a tőke egy összegben történő visszafizetését ígéri. A nulla növekedésű pénzáramlást, amelyik egy adott összeg örökös fizetését jelenti, örökjáradéknak nevezzük. A nullától eltérő, konstans növekedésű végtelen pénzáramlást növekvő tagú örökjáradéknak nevezzük. A hasonló, ám véges pénzáramlást annuitásnak nevezzük. 1. A zéró kupon kötvény értékelése egyszerűen a jelenérték-számítás felhasználásával történik. 2. Az örökjáradék értékelése sem bonyolultabb. Tételezzük fel, hogy az állam ki kíván bocsátani egy örökjáradék-kötvényt, amely évente 10 forint járadékot ígér. Tegyük fel, hogy a pénzpiacon a befektetők egy ilyen kötvényt akkor hajlandóak megvásárolni, ha annak hozama eléri a 10%-ot. Ebben az esetben az államkötvény kibocsátási árfolyama értelemszerűen 100 forint kell legyen, hiszen 10/100=10%. Ezt általánosítva az örökjáradék jelenértéke: PV = C/r, ahol C a járadék és r a piaci kamatláb. 3. A növekvő tagú örökjáradék szintén örökös pénzáramlás, ám nullától eltérő konstans növekedéssel. Ennek értékelése egy egyszerű matematikai egyenlőség felhasználásával a következőképpen történik: PV = C1/(k-g), ahol C1 a következő pénzáramlás értéke, k a piaci kamatláb és g a konstans növekedést jelöli. 4. Az annuitás szintén növekvő tagú járadék, ám nem végtelen, hanem határozott ideig tart. Értékelése egyszerűen két eltérő időpontban kezdődő növekvő tagú örökjáradék különbségeként határozható meg azzal, hogy a két időpont közötti eltérés az annuitás időtartama. Így az annuitás képlete PV = C1/(k-g)-Ct+1/[(k-g) x (1+k)^t], ahol Ct+1 az annuitás utolsó tagja után következő kifizetés összege, t az annuitás éveinek száma.